题目

圆 上任意一点 ，若 的值与 都无关，则实数 的取值范围为 __。

题目

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 的距离之比为 （，），那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。已知在平面直角坐标系中，圆 、点 和点 ， 为圆 上的动点，则 的最大值为 __。

参考解答

解析： 令 ，则 。 由阿波罗尼斯圆的定义及数形结合可知 （严格验证如下）。 设 ，由 得 两边平方并整理得 与圆 比较系数可得 即 ，，所以 。 于是 当且仅当 三点共线且 在 之间时取等号，此时 位于图中 的位置，最大值为 答案：

题目

已知直线 （）恒过定点 ，圆 上的两点 ， 满足 （），则 的最小值为 __。

参考解答

解析： 由 得 ，所以直线恒过定点 。 因为 ，所以 三点共线，且 为过点 的直线与圆 的交点。 设线段 的中点为 ，则 ，。 因为 表示点 到直线 的距离和，而 表示点 到直线 的距离。 分别过点 作 与直线 垂直，垂足为 ，由梯形中位线得 ，即 因为 （弦的中点与圆心连线垂直弦），直线 过点 及 ，所以 ，即 。 所以点 在以 为直径的圆上，圆心为 的中点 ，半径为 ，即 的轨迹方程为 所以点 到直线 的距离的最小值为圆心到该直线的距离减去半径： 即 ，所以 两边同乘 ，得 答案：

题目

若对于圆 上任意的点 ，直线 上总存在不同两点 ，使得 ，则 的最小值为 __。

参考解答

解析： 圆 配方得 所以圆心 ，半径 。 圆心 到直线 的距离 所以直线 与圆 相离。 由 知点 在以 为直径的圆内或圆上（直径所对的圆周角为直角）。设该圆圆心为 ，半径为 ，则 在直线 上且 对圆 上任意点 都要满足条件，即该圆要覆盖整个圆 ，故 其中 为 到圆心 的距离（此处记为 ）。要使 最小，就要使 最小，而 在直线 上，所以当 时 取最小值 此时圆 与圆 内切（ 在最远点处），。于是 答案：

题目

已知直线 与 相交于点 ，线段 是圆 的一条动弦，且 ，则 的最小值为（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

参考解答

解析： 圆 的圆心为 ，半径 。 直线 即 ，恒过点 ；直线 即 ，恒过点 。 又 ，所以 ，即 ，故点 的轨迹是以 为直径的圆。该圆圆心为 的中点 ，半径 所以点 的轨迹为圆 ，但要**去掉点 **（ 趋于无穷时 的极限位置，实际上不在任何一条直线上）。 设弦 的中点为 ，连接 。因为 ，由垂径定理 所以点 的轨迹是以 为圆心、半径 的圆 。 而 所以圆 与圆 外离。直线 的方程为 ，联立 与 ，解得 因为 是 的中点，所以 ，，于是 又因为两圆外离， 此时点 为 ，等号成立，所以 的最小值为 故选：C。 答案：

题目

在平面直角坐标系中，点 在圆 上，点 在直线 上，且 ，则 的最小值为 __。

参考解答

解析： 因为点 在直线 上，所以设 ；又点 在圆 上，设 。 由 得 ，即 化简得 ，所以 从而 而 所以 要求 的最小值，即求 的最大值。 因为 此时 取最小值为 答案：

题目

已知点 是直线 上的动点，圆 关于直线 的对称圆记为圆 ，以 为直径的圆与圆 交于 两点，则四边形 的周长的最小值为（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.